第八章8 2分部积分法

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第八章8。设G(x)是G(x)的任意不定积分。

第八章8。设G(x)是G(x)的任意不定积分。在这种情况下,G ' (x)= G (x),那么根据乘积法则,这意味着,或者,等价于(1)这个公式的应用被称为分部积分。版权所有©2005 by John Wiley & Sons, Inc。保留所有权利。

在实践中,我们通常重写(1),让This产生以下替代形式

在实践中,我们通常重写(1),让它产生(1)Calculus, 8/E (Howard Anton, Irl Bivens, and Stephen Davis)的替代形式。版权所有©2005 by John Wiley & Sons, Inc。保留所有权利。

解:让微积分,8/E Howard Anton,

示例:使用分部积分来评估解:让微积分,8/E Howard Anton, Irl Bivens,和Stephen Davis版权所有©2005 by John Wiley & Sons, Inc。保留所有权利。

分部集成的指导原则分部集成的主要目标是

分部积分的指导原则分部积分的主要目的是选择u和dv,得到一个比原来的积分更容易计算的新积分。策略通常是选择u和dv作品u时分化成了“简单”,而留下一个dv,很容易集成获得诉有另一个有用的策略选择时可以应用u和dv被积函数是两个函数从不同的产品类别列表中。对数,反三角法,代数,三角法,指数法,在这种情况下,如果你把u看成是在列表中较早出现的函数,然后把dv看成是被积函数(LIATE)的其余部分,通常是成功的。这种方法并非总是有效,但它经常有效,因此很有用。版权所有©2005 by John Wiley & Sons, Inc。保留所有权利。

的例子。评估方案:根据LIATE,我们应该让Howard Anton的《微积分8/E》

的例子。Evaluate Solution: According to LIATE, we should let Calculus, 8/E by Howard Anton, Irl Bivens, and Stephen Davis Copyright©2005 by John Wiley & Sons, Inc。保留所有权利。

例子:《Evaluate Solution: Let Calculus》,Howard Anton, Irl Bivens和Stephen Davis的8/E

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在微积分中应用分部积分法

重复分部积分示例:评估解决方案:让分部积分应用于微积分,Howard Anton, Irl Bivens,和Stephen Davis版权所有©2005 by John Wiley & Sons, Inc。保留所有权利。

最后,《微积分8/E》Howard Anton Irl Bivens and Stephen Davis版权所有©2005

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例子:《Evaluate Solution: Let (a) Calculus, 8/E》,Howard Anton, Irl Bivens和Stephen著

示例:Evaluate Solution: Let (a) Calculus, 8/E, Howard Anton, Irl Bivens, and Stephen Davis版权所有©2005 by John Wiley & Sons, Inc。保留所有权利。

和(a)一起,求出未知积分,微积分,8/E

和(a)一起,我们有解未知积分,我们有微积分,8/E Howard Anton, Irl Bivens,和Stephen Davis版权所有©2005由John Wiley & Sons, Inc。保留所有权利。

定积分分部积分对于定积分,对应的公式为

对于定积分,对应的公式是:微积分,8/E Howard Anton, Irl Bivens, and Stephen Davis版权所有©2005 by John Wiley & Sons, Inc。保留所有权利。

例子:《Evaluate Solution: Let Calculus》,Howard Anton, Irl Bivens和Stephen Davis的8/E

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8.3三角积分对正弦和余弦的幂进行积分应用积分

8.3三角积分正弦和余弦的幂积分应用分部积分,我们有两个简化公式微积分,8/E Howard Anton Irl Bivens和Stephen Davis版权所有©2005由John Wiley & Sons, Inc。保留所有权利。

特别是......微积分,8/E Howard Anton, Irl Bivens,和Stephen Davis版权所有

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sin和cos微积分的积分积,8/E, Howard Anton, Irl Bivens和

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解:因为n=5是奇数,微积分,8/E, Howard Anton, Irl Bivens,

示例:Evaluate Solution: since n=5 is odd, Calculus, 8/E, Howard Anton, Irl Bivens, and Stephen Davis版权所有©2005 by John Wiley & Sons, Inc。保留所有权利。

正切和正割的幂积分也有类似的幂积分简化公式

对于正切和正割的积分也有类似的简化公式。版权所有©2005 by John Wiley & Sons, Inc。保留所有权利。

特别是......微积分,8/E Howard Anton, Irl Bivens,和Stephen Davis版权所有

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微积分,8/E Howard Anton Irl Bivens

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8节。我们所关心的是包含表达式的积分

8节。我们所关心的是这样一些积分:其中a是一个正常数。我们的想法是对x做一个替换来消去根号。例如,为了消去里面的根,我们可以用x = a sinx, - /2得到微积分,8/E Howard Anton Irl Bivens和Stephen Davis版权所有©2005 by John Wiley & Sons, Inc。保留所有权利。

例1。评估解决方案。为了消去根号,我们代入x= 2

例1。评估解决方案。为了消去根,我们做替换x= 2sin dx= 2cosd这就得到了微积分,8/E Howard Anton Irl Bivens和Stephen Davis版权所有©2005由John Wiley & Sons, Inc。保留所有权利。

从左边的图中,我们得到在前面的答案中代入这个

将前面的答案替换为微积分,8/E,作者Howard Anton, Irl Bivens, and Stephen Davis版权所有©2005 by John Wiley & Sons, Inc。保留所有权利。

求定积分有两种方法。•进行代换

求定积分有两种方法。•对不定积分做代换,然后利用积分的x极限求定积分。•在定积分中做代换,将x极限转换为相应的-极限。的例子。解法:由于代换可以表示为=sin-1(x/2),积分的极限是x=1: =sin-1(1/2)= /6 x=: =sin-1(/2)= /4保留所有权利。

三角代换法,8/E, Howard Anton, Irl Bivens,和Stephen Davis

三角代换法,8/E, Howard Anton, Irl Bivens, and Stephen Davis版权所有©2005 by John Wiley & Sons, Inc。保留所有权利。

的例子。计算,假设x5。解决方案。设x=5 sec, 0 <

的例子。计算,假设x5。解决方案。设x=5 sec, 0 < /2 dx= 5 sec tan d。因此,注意微积分,8/E Howard Anton, Irl Bivens,和Stephen Davis版权所有©2005 by John Wiley & Sons, Inc。保留所有权利。

8.假设P(x) / Q(x)为

8.5用部分分数对有理函数积分假设P(x) / Q(x)是一个合适的有理函数,我们的意思是分子的次数小于分母的次数。高等代数中有一个定理,该定理指出,每一个真有理函数都可以表示为一个和,其中f1 (x), f2 (x),…,Fn(x)是一种有理函数,其分母是Q(x)的因数。求和称为P(x)/Q(x)的部分分式分解,各项称为部分分式。版权所有©2005 by John Wiley & Sons, Inc。保留所有权利。

求部分分式分解的第一步

求真有理函数P(x)/Q(x)部分分式分解形式的第一步是将Q(x)完全分解成线性的和不可约的二次因子,然后收集所有重复因子,使Q(x)表示为不同因子的乘积,由这些因子我们可以确定部分分式分解的形式,使用两个规则,我们现在将讨论。版权所有©2005 by John Wiley & Sons, Inc。保留所有权利。

线性因子如果Q(x)的所有因子都是线性的,那么偏

线性因子如果Q(x)的所有因子都是线性的,那么P(x)/Q(x)的部分分式分解可以通过以下规则确定:微积分,8/E由Howard Anton, Irl Bivens,和Stephen Davis版权所有©2005 by John Wiley & Sons, Inc。保留所有权利。

例:Evaluate Solution:根据线性因子规则,分解形式为

解:根据线性因子规则,分解形式为A和B为待确定常数。通过这个式子乘以(x-1)(x+2)得到1=A(x+2)+B(x -1)设x=1,我们有1= 3 A,这意味着A =1 /3;x = -2,得到1 = -3 B,也就是B = -1/3。版权所有©2005 by John Wiley & Sons, Inc.。保留所有权利。

积分现在可以完成如下:微积分,8/E, Howard Anton, Irl

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示例:评估解决方案:通过线性因子规则,乘以收益率(1)(2)设置

解:根据线性因子规则,将(1)中的x=0设为B = -2,将(1)中的x= 2设为C = 2。然后通过等式两边的x2的系数得到A + C = 0或A = -C = -2微积分,8/E, Howard Anton, Irl Bivens,和Stephen Davis版权所有©2005由John Wiley & Sons, Inc。保留所有权利。

将A = -2, B = -2, C = 2代入得到偏微分

代入A = -2, B = -2,和C = 2得到部分分式分解。保留所有权利。

二次型因子如果Q (x)的某些因子是不可约二次型,则

二次因素如果的一些因素Q (x)是不可约二次方程式,然后那些facctors的贡献的部分分式分解P (x) / (x)可以确定从以下规则:微积分,8 / E的霍华德·安东Irl 4,和斯蒂芬·戴维斯版权©2005年由约翰·威利& Sons . n:行情)。保留所有权利。

例子的例子。解:3 x 3 -x 2+3 x-=x 2(3 x-1)+(3 x-1)=(3 x-1)(x

例子的例子。3 x 3 -x 2+3 x-=x 2(3 x-1)+(3 x-1)=(3 x-1)+(3 x-1)+(3 x-1)+(3 x-1)+(3 x-1)+(3 x-1)因此,X 2+ X -2=(A+ 3b) X 2+(-B+ 3c) X +(A-C)对应的系数等于A+ 3b =1 -B+ 3c =1 A-C =-2保留所有权利。

通过解这个,我们得到A=-7/5 B=4/5 C=3/5。因此微积分,8 / E

通过解这个,我们得到A=-7/5 B=4/5 C=3/5。版权所有©2005 by John Wiley & Sons, Inc.。保留所有权利。

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